Legendre 变换

…今天泡了大半天 Pompidou 图书馆加上网上一个超好的文章 Legendre-Fenchel transforms in a nutshell 终于搞清楚点了这个超级好玩的变换…我说的好玩是指乍眼难以看清它在干什么…

由于已经晚上了…现在不想写得太详细¹，所以就说说定义和一些结论。设 \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\)，其 LF 变换定义为

\[f^*(k)=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\left(\langle k,x\rangle-f(x)\right)\]

下面是关于 LF 变换的几个结论，以后再补充。

• 点变成斜率；把斜率变成点。
• 不可导点变成一段上的线性函数。比如把 \(x\mapsto\lvert x\rvert\) 变成 \([-1,1]\) 的指示函数（在集合内为零，在集合外为正无穷）
• 若 \(f\) 在 \(x\) 处可导且导数为 \(k\)，那么 \(f^*\) 在 \(k\) 处可导而且导数为 \(x\)

\[k\in\partial f(x)\iff x\in\partial f^*(k)\]

1. 其实也写不了很详细 ↩