Matériaux standards généralisés

简单介绍下这个材料本构关系的数学体系。法国人就是喜欢把什么事情都去一般化、抽象化，不过这个体系是包含了很多常见常用的材料定义，所以还是个很好的工具。

材料的本构方程刻画了一个材料单元 VER 的应力应变关系，根据内变量理论，我们假设这个这个单元的应力应变关系仅仅和这点的某些内变量有关。如果只考虑恒温情况，那么内变量可以有：

• 应变 \(\varepsilon\)，这个唯一一个可以被观测到的内变量，所以出现在所有材料本构方程的内变量中
• 在塑性力学中有塑性应变 \(\varepsilon_\mathrm{p}\) 和其他刻画材料硬化的参数，比如等效塑性应变（各项同性硬化）和运动硬化 Écrouissage cinématique 的参数…不知道怎么翻译
• 损伤力学（就是我目前博士要做的…）中的损伤变量 \(d\)，在非局部模型中还要出现它的梯度 \(\nabla d\)

为方便我们记所有其他非应变的内变量为矢量 \(a\)。广义标准模型需要定义两个势能，第一个出现的就是自由势能 \(\psi:(\varepsilon,a)\mapsto \psi(\varepsilon,a)\in\mathbb{R}^+\)。它出现在热力学第二定律中（忽略热学项）：

\[\sigma:\dot\varepsilon-\dot\psi\geq 0\]

为了使这个公式满足，我们将 \(\dot\psi=\partial_\varepsilon\psi:\dot\varepsilon+\partial_a\psi\;\dot a\) 带入，得到

\[\left(\sigma-\frac{\partial\psi}{\partial\varepsilon}\right)\dot\varepsilon-\frac{\partial\psi}{\partial a}\dot a\geq 0\]

这个式子需要对于所有情况满足，所以我们得到：

\[\sigma=\frac{\partial\psi}{\partial\varepsilon}(\varepsilon,a)\qquad\text{和}\qquad-\frac{\partial\psi}{\partial a}(\varepsilon,a)\;\dot a\geq 0\]

在知道某点应变和其他内变量的情况下，第一个方程告诉我们该点的应力。相仿应力的表达式，我们定义 \(A_i=-\partial_{a_i}\psi\) 为相应于内变量 \(a_i\) 的热力学力。那么热力学第二定律就变为：

\[A\,\dot a=\sum_i A_i\,a_i\geq 0\]

需要提醒的是热力学力可以是一个标量（当其对应的内变量也是一个标量）也可以是一个矢量和张量，它们之间的乘积运算相应就是张量间的标量积。

为了使这个定律满足，广义标准模型又定义了一个消耗势能 \(\phi:\dot a\mapsto \phi(\dot a)\in\mathbb{R}^+\cup\{+\infty\}\)。除了它的非负性之外，我们还需要它下连续、在零点处为零、且关于每个内变量都是一个凸函数。我们于是定义内变量的演变方程：

\[A\in\partial\phi(\dot a)\]

好了，没想到次微分这个概念竟然能有那么多用，我也是这几个礼拜的学习才知道的。我们首先可以发现这么定义后热力学第二定律自动满足了，因为 \(A\) 是 \(\phi\) 在 \(\dot{a}\) 点的次导数说明对于所有 \(\hat a\) 有：

\[\phi(\hat a)\geq\phi(\dot a)+A\,(\hat a-\dot a)\]

取 \(\hat a=0\) 得到 \(A\,a\geq \phi(\dot a)\geq 0\)。我们用到了 \(\phi(0)=0\) 且 \(\phi(\dot a)\geq 0\) 的假设。消耗函数的凸性在次微分的时候就用到了，因为如果不凸的话那么次微分根本会不存在。以上说明热力学第二定律自动满足。

下面证明如果消耗函数是一个正齐次函数，即如果对于所有 \(k>0\) 有 \(\phi(k\dot a)=k\phi(\dot a)\) 的话，那么给定这个消耗函数相当于给定一个凸的阀值函数 \(f:(A,a,\dot{a})\mapsto f(A,a,\dot{a})\in\mathbb{R}\)，并且如果 \(f\) 足够光滑的话内变量的演变方程是：

\[\left\{ \begin{aligned} & \dot a=\lambda\frac{\partial f}{\partial A}(A,a,\dot{a}) \\ & \lambda\geq 0\quad f(A,a,\dot{a})\leq 0\quad \lambda\,f(A,a,\dot{a})=0 \end{aligned} \right.\]

下面是简单的证明，如果 \(\phi\) 正齐次，那么其共轭函数 \(\phi^*\) 肯定是某个凸集 \(C\) 的指示函数，这个凸集可以用一个凸函数 \(f\) 表示，即¹ \(C=\{A:f(A,a,\dot a)\leq 0\}\)，所以有：

\[\phi^*(A)=\begin{cases} 0 & f\leq 0 \\ \infty & f>0 \end{cases}\]

下面回到次微分，可以证明 \(A\in\partial\phi(\dot a)\) 和 \(\dot a\in\partial\phi^*(A)\) 是等价的，说明：

\[\dot a\in\partial\phi^*(A)\iff\forall\hat{A}\quad\phi^*(\hat{A})\geq\phi^*(A)+\dot{a}\,(\hat{A}-A)\]

所以肯定有 \(f(A,a,\dot a)\leq 0\)，否则 \(\phi^*(A)=+\infty\) 就没有上式成立了。所以得到

\[\begin{aligned} \dot a\in\partial\phi^*(A) &\iff \forall\hat{A}\quad\phi^*(\hat{A})\geq\dot{a}\,(\hat{A}-A) \\ &\iff \forall\hat{A}\in C\quad 0\geq\dot{a}\,(\hat{A}-A) \\ &\iff \forall\hat{A}\in C\quad \dot{a}\,A\geq\dot{a}\,\hat{A} \\ &\iff A=\operatorname{arg}\max_{\hat{A}\in C}\dot{a}\,\hat{A} \end{aligned}\]

这个最大化问题在限制 \(f(A,a,\dot a)\leq 0\) 足够光滑的情况下根据 KKT 条件就可以得到上面的演化方程组，证毕。

接下来几篇文章介绍一些特殊的模型，先从塑性材料开始吧…今天告一段落。

1. 内变量及其导数可以作为参数 ↩