这不是一个烟斗与同构的破裂

现在在国内，亚马逊买了本神书「哥德尔、艾舍尔、巴赫 —— 集异璧之大成」，因为最近好像一直在什么地方推送给我（唯一可以确定的是和西部世界相关的网站、节目）。既然是和西部世界相关，那么肯定说到了人工智能。这本书似乎主题广阔，主要涉及了数理逻辑、绘画、音乐（这三个领域有名的人物作为书名）。看了两天后（它有 1000 多页！），我敢肯定它的元主题（即关于主题的主题、连接这些主题的主题…）就是关于同构。同构当然是一个档次很高的数学用语，在日常生活中可以用类比来代替。

同构与类比

在我的数学修养中，我接触的第一个同构就是线性代数中的，并从此让我窥见数学的美。线性代数研究的是抽象的线性运算 \(T\)，在向量空间 \(V\) 中选取一个基底之后，可以为 \(T\) 找到一个矩阵的表达 \(M(T)\)。如此一来，在所有 \(V\) 中的线性运算和所有 \(\mathrm{dim}(V)\)-维矩阵之间就建立了一个同构。在数学中，同构说明两个集合不仅“大小”相同，可以一一对应，并且具有类似的“结构”。比如在抽象向量空间中最常用的结构就是向量加法运算，而矩阵间也可以做普通的加法。同构则确保

\[R=S+T \iff M(R)=M(S)+M(T)\]

即线性运算的相加对称地对应到其矩阵表达式的相加。如此一来，要研究前者的相加，可以等同地研究后者的相加，反之亦然。

至于日常生活中的类比，考虑下面这个情况¹：

和你说话就像对牛弹琴。

“就像”告诉我们在谈论一个类比，这就说明了两点：

1. 概念的对应。比如这里动作「说话」和「弹琴」的对应和动作的补语「你」和「牛」的对应；
2. 结构的对应。这里的结构就是动作作用到补语上产生的效果：对牛弹琴产生的效果就通过类比对应到了我和你说话产生的效果。

语言中的同构与同构的破裂

「哥德尔、艾舍尔、巴赫 —— 集异璧之大成」在讲同构的时候提到了一个语言学中的同构，这里我想详细地说明下。为此我先介绍一些语言学²中关于“含义”的定义知识。当今语言学认为，一个拥有“含义”的符号、字词等具有两面：

1. 一个 signifiant，即这个符号本身的表现形式。如果是图片的话，可以是它的绘画方式；如果是字词的话，可以是它的书写方式（笔、纸、字体等）或书写语言。
2. 一个 signifié，即这个符号代表的概念。

日常我们说话的时候，一般是针对现实生活中的对象进行交流。这时候字词还拥有一个现实生活中的指示物 référent。考虑下面³这句话：

我在吃苹果。

当我说这句话的时候，一般大家都理解成它在现实生活中的指示：

在说话的这个人在这个时候正在用嘴巴进行咀嚼一个真实存在的苹果。

这是因为，在字词与现实生活之间存在一个非常清晰明白的同构：

1. 「我」、「吃」和「苹果」通过其 signifié 可以指示到它们在现实生活中所指代的物体。
2. 句子「我在吃苹果」中的「吃」组成了一个动词的施加者和被施加者的语法结构，而现实生活中「我在吃苹果」则有咀嚼者和被咀嚼者。这个结构的对应确保是一个同构。

正是因为这个特别明显的同构，人们通常就忽视了字词或符号本身的 signifié 即概念，而直接考虑它们在现实生活中的对象。这一点在数学中叫做 identification，即我们把同构的两者就看作是一个东西。

Magritte 的绘画作品「图片的欺骗」中的下面这幅作品就打破了这个同构⁴。

下面那句「Ceci n’est pas une pipe」，即翻译成中文「这不是一个烟斗」。这句话中的「烟斗」我们取它在现实生活中的烟斗指代，即一个真实的烟斗。而这幅画的 signifié 就只是一个烟斗的概念，而且我们不考虑这幅画具体在现实生活中的指代物。于是，这幅画的确不是一个现实中的烟斗，因为这幅画指代表了一个烟斗的概念。我们这里既打破了这幅画的同构（因为我们指考虑它的 signifié），也打破了「烟斗」的同构（因为我们只考虑它的 référent）。

最后，我想说下严密地来说「概念 signifiés」和「指代物 référents」之间并不是一个数学上的同构。原因就在于这个从概念到现实生活的映射不是一一对应的。多个概念可以指代同一个物体（比如「土豆」和「马铃薯」都可以指代一个可以吃的植物），同时，有些概念还没有指代物。严密地来说，这个「同构」只能建立在一些能指代东西的概念子集与现实生活之间，同时还要 identify 那些同义词……

1. 我随便想的。 ↩

2. 当初在 UTC 学的。 ↩

3. 参考脚注 1。 ↩

4. 前段日子在 Centre Pompidou 展览。 ↩